■天秤パズル

　「书籍：数学でつまずくのはなぜか」の绍介记事で、せっかく「天秤」のFlashを作ったので、「素数入门」（芹沢正三／着）から「天秤」を使った问题を绍介しよう。

　问题：1グラム以上100グラム以下のオモリ「X」がある。この「X」の重さを1グラム単位で量るには、最低、何个のオモリが必要か？

（※出典：「素数入门」芹沢正三／着）

　答えは、见てのとおり。それぞれ、重さの异なる7个のオモリが必要だ。「X」の重さは乱数で决定しているので、1个や2个のオモリで量ることできる场合もある。しかし、1グラムから100グラムまで、すべてに対応するには、7个のオモリが必要になる。その理由を説明せよ！
（※「リトライ」ボタンがないので、缲り返し游ぶときは、ブラウザをリロードしてね＞＜；）

　1グラムと2グラムのオモリがあれば、1グラム、2グラム、3グラムを量ることができる。次は4グラムのオモリが必要だ。すると、4+(2+1)で7グラムまで量ることができる。同様に、次は8グラム、その次は16グラムのオモリを追加していく。

　つまり、(2＾n)-1 で、「n」が6の场合、63グラム、「n」が7の场合、127グラムまで1グラム単位で量れることになる。それぞれのオモリを「乗せる」「乗せない」を「1」と「0」で表すと、そのまま二进数表记となる。

　たとえば、100グラムの场合は、二进数で表すと、
「1100100」となり、
(64*1)+(32*1)+(4*1)=100となる。

　さて、以上は、当たり前ちゃ、当たり前。これではパズルにはならない。「天秤」を使うルールとして、片方の受け皿に「X」、もう一方の受け皿だけに「オモリ」を乗せる必要はない。たとえば、「X」が2グラムのとき、左の受け皿に「X」と1グラム、右の受け皿に3グラムのオモリを乗せれば、
X+1=3となり、
天秤はバランスが取れるので、「X」は2グラムと求めることができるわけだ。このように、どちらの受け皿にも「オモリ」を乗せてもよい场合、1グラム以上100グラム以下の「X」の重さを1グラム単位で量るには、最低、何个のオモリが必要か？

　今度は、オモリが「1」「3」「9」「27」「81」の5个になった。前の问题は二进数だったが、今回は三进数のようである。

　たとえば、「X」の重さが100グラムのときを考えてみよう。
100=1*(3^0)+0*(3^1)-1*(3^2)+1*(3^3)+1*(3^4)
100=1-9+27+81
100+9=1+27+81
というわけなのだが、もう少し説明すると、
100=(33*3)+1（1グラムのオモリは右皿）
33=(11*3)+0（3グラムのオモリは使わない）
11=(4*3)-1（9グラムのオモリは左皿）
4=(1*3)+1（27グラムのオモリは右皿）
1（81グラムのオモリは右皿）

　私は「素数入门」（芹沢正三／着）を読むまで、「絶対値最小剰余」という言叶を知らなかったのだが、そういうもんらしい。たぶん明日になれば忘れていると思う＾＾；　详しくは、以下の本を参照してほしい。

素数入门 计算しながら理解できる 芹沢正三／着 讲谈社ブルーバックス 価格：1040円（税别）

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