ガスコン研究所

■コマネチ大学2006年度讲义リスト

2006年4月～2007年3月に放映された「たけしのコマネチ大学数学科」の「过去问题」へのリンク集（ガスコン研究所）。

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■コマネチ大学数学科42讲：ガウス平面

竹内薫センセによると、3月で终了とのことだが、番组の最后に「1年间ありがとうございました」に続いて「4月からもマスマス数学します」というテロップが映った。どういうことなの？「たけしのコマネチ大学数学科」第42讲。演题は「ガウス平面」。

问题：草原に1本のカシと1本のマツと1轩の小屋があります。小屋からカシまで歩き、右へ直角に同じ距离を歩いて、そこに棒を立てます。同様に小屋からマツまで歩き、左へ直角に同じ距离を歩いて、そこに棒を立てるとき、棒と棒の中间に宝があります。
宝がどの场所にあるか作図しなさい。ただし、小屋の位置はわかっていません。

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■テトリスの応用问题に挑戦！

「コマネチ大学数学科」第41讲の「テトリスに挑戦」の类题を考えた。ルールは同じ。できるだけ凸型のブロックを使わないようにして、マス目を埋めること。下の问题をクリックすると、别窓で开くはず。（IE6のXPSP2とFirefox2.0.0.3でしか动作确认してない；；）マス北野のように2分で解けるかな＾＾；

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■同时确率と条件付き确率

またまた、「コマネチ大学数学科」38讲の「スパゲッティ问题」である。茹でる前のスパゲッティを折る话なので、こんがらがることはないと思うのだが、私の头の中では、复雑にからみついて、なかなか解きほぐせない。

前回の「スパゲッティ问题(その２)」では、モンテカルロ法でこの问题を解こうとしたら、期待したとおりの値にならなかった。変数名や図がひとりよがりでわかりにくく误解を与えた部分があったので、そのへんを整理してみた。

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■コマネチ大学数学科41讲：テトリスに挑戦

今回は「テトリスに挑戦」ということで、マス目を３つの形のブロックで埋める问题なのだが、番组を见ている私たちは、ただ见ているだけでトライしてみることができない。そこで、マス目とブロックを用意しようとしたのだが、これがホントに大変だったのよ「たけしのコマネチ大学数学科」第41讲。

问题：図の白いマス目を3种类のブロック全部を使って埋めるとき、凸型は、最低何个必要か？（できるだけ凸型を使わないで完成させよ！ということ）

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■スパゲッティ问题(その２)

コマネチ大学数学科38讲の「スパゲッティ问题」で、大ポカをやらかした酔っ払い爷の私。コマ大数学研究会と同じく、モンテカルロ法で确认してみようと思った。

问题：1本が30cmのスパゲッティを无作为に3本に折ったとき、その3本で三角形を作ることができる确率は？

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■コマネチ大学数学科40讲：和算PartⅡ

イタリアのちょい悪オヤジ风、竹内薫センセが和服を着て登场。マス北野の「崔洋一みてえだな」の一言に激しく同意「たけしのコマネチ大学数学科」第40讲。お题は「和算」。以前、「百五减算」をやったが、今回は、なにやら几何の问题。

今有如図直内容等円二ケ设二斜相错载侧円
其短径及等円径若干问得侧円长径如何

问题：この楕円の短径が4、等円の直径が1のとき、
楕円の长径を求めなさい。

この式にb=2,r=1/2を代入すると、a=√9で「3」、长径はその2倍で「6」になる。

ならば、はじめから式を2倍にしてみる。

これが、算额の公式
置短径倍之加等円径乗等円径开平方二之得长径合问

というわけで、じつは、上で绍介した式は、ほとんど、以下のサイトから、书き写しただけ＞＜；
一関市博物馆：和算に挑戦
「美しき数学の时间」で绍介されていた解法、アファイン変换による解答例も载っている。なんだか、难しそうだったので、パス；；

また、「算法助术」(长谷川弘閲／山本贺前 编)は、电子复刻版が公开されている。二十八（82：右から読んでね＾＾；）にあるよ。

元の図形をひっくり返している。それにしても「和算」は、なかなか风情があってよろしいなぁ……。

■コマネチ大学数学科39讲：モンモール问题

コイズミが一言「钝感力が大事だ」といえば、渡辺淳一の「钝感力」が売れる今日この顷、私は「老人力」でがんばるの「たけしのコマネチ大学数学科」第39讲。お题は「モンモール问题」。

问题：6人でプレゼント交换するとき、自分のプレゼントをもらわない组み合わせは何通りか。

まず、少ない人数で考えてみる。2人のときは、お互いプレゼントを交换するだけなので1通り。3人のときは、2通りしかないことがすぐにわかる。4人の场合、A,B,C,Dとすると、Aは、B,C,Dとプレゼント交换する组み合わせが考えられ、残り3人は2通りと、2人の1通りの组み合わせになり、3*(2+1)で9通りになる。ここから渐化式を导くと、f(n)=(n-1)*((f(n-1)+f(n-2))となる。

この渐化式をもとに「エクセル」で表を作成した。というわけで、6人の场合は、265通りという答えが得られた。

中村亨センセの「美しき数学の时间」で解説されていたように、この渐化式を一般化すると(一般项nをどんどん増やしていくと)、

となるらしい。出ました、自然対数の底、ネイピア数が＾＾；

「エクセル」では、自然対数の底は「=EXP(1)」で求めることができる。つまり、1/eは、「=EXP(-1)」だ。人数がたった6人でも、かなり、この値に収束してきているのがわかる。

前回の予告で「次回は有名人の诞生日パーティ？」とあったので、すっかり、今回は、诞生日が一致する确率の问题かな……とヤマをかけたが、2月25日は、戸部アナの26歳の诞生日だそうで、コマ大数学研究会が扮する、戸部洋子だらけの诞生日パーティーだった＾＾；

「メガネの洋子、千叶県検见川～♪」というわけで、お诞生日おめでとうございます。「似てないですよ～」と文句を言われそうだけど……＾＾；

■コマネチ大学数学科38讲：スパゲッティ问题

数ヶ月ぶりに电车に乗り、编集部での打ち合わせに出かけた、ひきこもり爷の「コマネチ大学数学科」受讲メモ。

问题：1本が30cmのスパゲッティを无作为に3本に折ったとき、その3本で三角形を作ることができる确率は？

この问题、なぜ难しく考える必要があるのか、私にはわからないが、すっかりイタリアンな感じの竹内薫センセの解説では、この问题を解くには、ふた通りの方法があって、まずは代数で考えたのが东大生チームだ。

三角形の二辺の和は、他の一辺より长いので、以下のような不等式が成り立つ。
x+(y-x)>(30-y)
x+(30-y)>(y-x)
(y-x)+(30-y)>x
0<x, x<y, y<30

これをグラフで考えたのがマス北野だ。

同じように条件を当てはめると、x,yは、オレンジ色の部分になる。面积の比率によって、确率は1/4であることがわかる。

竹内薫センセの「美しき数学の时间」では、マーチン・ガードナーの解法を绍介していた。

正三角形の中の任意の场所に点Pを打つ、点Pから三辺に垂直になるような线を引く。この3本の垂线の长さを合计すると、正三角形の高さになるというもの。
AD=AE+AF+AG

AD=PE+PF+PG（2月16日修正）
ADを30cmのスパゲッティと考えると、AE,AF,AG（PE,PF,PG)は三つに折ったときのスパゲッティの长さになる。で、三角形の二辺の和は他の一辺より长いという条件を加えると、点Pは、オレンジ色の部分に収まっている必要があるのだ。面积比で1/4。

冒头で、この问题を难しく考える必要があるのか、私にはわからないと言ったのは、最初にスパゲッティを折る场所が半分の15cmより大きくなるか、小さくなるかの确率は1/2だよね。三角形の二辺の和は他の一辺より长いのだから、次にスパゲッティを折るとき、二つに折ったスパゲッティの短いほうを选んじゃうと、三角形を作れない。长いほうか、短いほうか2本のスパゲッティのどちらか一方を选ぶ确率は、1/2なので、(1/2)*(1/2)で、三角形を作れる确率は1/4という答えになる。ふつうは、こう考えるんじゃないのかなぁ……。

2月16日追记：自分が书いた文章を読み返してみたら、2本に折ったスパゲッティの长いほうを选んでも、必ずしも、三角形が作れるとは限らない……ということに気がついた；；　やはり、ちゃんと数学的に证明しないとダメみたい＞＜；

■コマネチ大学数学科37讲：断面

おめぇに喰わせる「断面」は、ねえぇ！の「たけしのコマネチ大学数学科」の第37讲。

问题：小さい立方体9261个を使ってひとつの大きな立方体を作り、断面が正六角形になるように切断します。このとき、小さい立方体は何个切断されるでしょうか。

立方体の各辺の中央を通るように切断すると、断面が正六角形になる。上のFlashは、3×3×3の立方体だが、隙间を作っているので、わかりづらいかもしれない。各辺が5の立方体は図のようになる。中央の赤い六角形を取り囲むように六角形が増えていくが、小さな三角形は、六角形の数の2倍ずつ増えていく。

※注：表のF列の数値に误りあり。nanzanさんのコメントを参照（2008年4月2日追记）

これを表にすると、正六角形の増分は「6n」、正三角形の増分は「2*6n」、そして切断される小さな立方体の増分は、これを足したものなので「3*6n」になる。9261个の小さな立方体で作った大きな立方体の辺の数は、21×21×21なので、これに当てはめ、合计を出す。

マス北野は、正三角形の数が正六角形の数の倍と考え、「331×2」としてしまったため、惜しくも正解を逃してしまった。1个の立方体を切断したときに出来るのは正六角形のみ。ううむ、中村亨センセの解説をそのまま、なぞっているだけになってしまった；；　

美しき数学の时间では、いろいろなパターンの「アルキメデスのタイル张り」を绍介していた。最近、FlashのActionScriptで図形を描くことを覚えたので、いつか挑戦してみたい。それと、今回は、Shadeで作成したアニメーションをFlashに埋め込むことに挑戦してみた。

■コマネチ大学数学科36讲：フラクタル

マス北野によると、映画「TAKESHI'S」の元タイトルは「フラクタル」だったとか「たけしのコマネチ大学数学科」第36讲。

问题：以下の规则に従って白玉と赤玉を64段まで并べるとき、必要な赤球は何个でしょうか。
规则
１：1段目に白玉を置く
２：2段目以降、両端には白玉を置く
３：3段目以降、斜め上2个が同じ色なら赤だまを、违う色なら白玉を置く

というわけで、コマ大数学研究会にならって、ひたすら并べてみるものの……。32段目で挫折；；

8段目までで白玉は27个、64段では、この形が27个あり、27×27で白玉は729个。玉の総数は「n+(n+1)/2」で、64*65/2で2080个、2080-729で、赤玉の数、1351个が求められる。

竹内薫センセの「美しき数学」の时间では、もっと简単に求める方法を绍介していた。すべてが白玉になる段に注目すると、1,2,4,8……段。このときの白玉の総数は、1,3,9,27……と3倍になっている。

「パスカルの三角形」の奇数、偶数を涂り分けると、シェルピンスキーのギャスケットになる话は、以前のエントリーで书いた。

●マンデルブロ

マス北野もマンデルブロやフラクタルにはまっていたことがあるそうだが、私も、十数年前、はまっていたことがある。当时は、书籍などに载っていたプログラムを参考にして、「X68000」というパソコンのBasicで描いていたのだが、描画が遅くて、その后、Visial Basicに直して描いたりしていた。「日経デジタル大事典」の记事を书いたとき図版として使用した画像は残っていたものの、プログラムは残っていない；；

マンデルブロ図形の细部に入り込んでいくと、行けども行けども果てしなく、不思议な図形が现われる。

●Flashでシェルピンスキーのギャスケットを描いてみた。

手书きでは、正确な正三角形を描くのが难しいため、最初の三角形を、Action Scriptで描く。Action Scriptで描いたのは2フレームまで、あとは、これを断片のひとつとして、シンボル化し、手作业で贴り付けた(＾＾；

■コマネチ大学数学科35讲：ペンタゴン

　昨日、酔っ払いながら作成した「Google入社问题」のActionScriptは、ループ回数を変更していなかったことが判明；；でも、それを修正しても正解にたどりつかない「コマネチ大学数学科」の第35讲。
今回の问题は、図のように纸テープ1本を5回结んで正五角形を作り内侧が正十角形になるようにします。テープの幅が2cmのとき、必要な纸テープの长さは何cmでしょうか。小数点以下を四舍五入して整数で答えなさい。

　この问题を入学试験とか入社试験とかで出されたら、私には絶対解けない。问题の正五角形折り纸の展开図(もちろん一本のテープなのだけれど、その折り目)を头の中だけで描ける人は、そういないのではないかと思う。実际に纸テープを结んで、それを展开すれば、话は别。でも、纸テープの结び目がちゃんと正五角形になるように折ることは意外と难しい。手元にあった割り箸の袋でやってみたが、折り目の角度などに気をつかって慎重にやらないと、なかなかキレイな正五角形にはならない。それは図を描くときも同じ。じつにアバウトないいかげんな図になってしまった。

　で、折った纸テープを広げると、结び目に4つの台形、辺にあたる部分も同じ形の台形がつながることがわかる。つまり、この正五角形の折纸は、25个の台形が交互につながった形になる。

　ひとつの台形の长さを求め、それを25倍すればいい。正n角形の1つの内角は、(n-2)/n*180°これに5を代入すると「108度」。108－90で三角形の尖がった部分の角度は18度、直角三角形のもうひとつの角は、72度になる。あとは、三角関数で计算するだけだ。
a=2/sin(72)で、2.102924448
b=2/tan(72)で、0.649839392
(a+b)*25=68.81909602
答えは、约69cmになる。

　「エクセル」で计算するときは「=2/SIN(RADIANS(72))」のようにラジアン値に変换してから三角関数に渡すことを忘れないようにしましょうね；；

　さて、今月いっぱいの缔め切りを抱えている私としては、编集者の目が怖いので、このへんで……。

■コマネチ大学数学科34讲：素数

部屋の电灯つけっ放し、テレビつけっ放しで、酔いつぶれて寝ていたが、番组が始まると、ハッと目が覚めた「コマネチ大学数学科」の第34讲。もちろん、前回の辙を踏まじと、しっかり録画予约してあったのだが、朦胧とした头で番组を见终わると、再び梦の中へ……。梦の中では、なにやら难しい数式が出てきて「わかったぞ！」と叫んでいたが、それがなんであったか覚えていない。

问题は、隣り合う数の和を下図のように加えていく作业を1万回缲り返し行ったとき「101」という数は、何回出现するでしょうか。

番组では触れられていなかったが、これは「チューリング・マシン」ではないかと思う。チューリング・マシンとは、コンピュータが登场する以前の1937年、アラン･チューリングが発表した「计算可能な数－决定问题に対する応用」という论文に登场する仮想的な装置のこと。

チューリング・マシンは、マス目が书かれた长～～い纸テープと、ひとマスごとに移动できるヘッドから出来ている。ヘッドはマス目に书かれている记号を読み込んだり、书き込んだり、消去することができると想定されていた。なにせ、仮想の装置なので现実にそういう装置があったわけではない。

アラン・チューリングは、こんな简単な仕组みの装置でも、命令次第でさまざまな演算ができることを证明して见せたんだよね。これがコンピュータの登场につながった。昔の映画などに登场するコンピュータはオープンリールのテープ(外部记忆装置)がガチャガチャと动いている映像があるでしょ、そんなカンジ。

チューリング・マシンのヘッドは、マス目の数字を読み込んで、足し、书き加えていく。テープを巻き戻して、最初からもう一度……さて、この作业を1万回缲り返すと「101」という数は何回出现するか……という问题に置き换えられる。

コマ大数学研究会は、手作业でテープに数字を书き、足していった。最初の「1、1」と书かれたテープを1本目とすると、14本目で「40」个という答えを出した。このときのテープの长さをチューリング・マシンのマス目の数で表すと「2^(14-1)+1」で、8193となる。8193个のマス目の中に「101」は40回出现したというわけだ(コマ大数学研究会が计算ミスをしていないと仮定しての话＾＾；検证はしていない；；)。

无理やり、ひとつのマス目をコンピュータのメモリ(1バイト)に対応させてみると、8193バイト、约8キロバイト。日本で组み立てキットの「マイコン」が登场したときは、确かメモリが8キロバイト程度だった。しかし、この计算を1万回ではなく、100回缲り返したとしよう。そのとき必要なメモリはどのくらいになるというと……。
「2＾(100-1)+1」で「6.33825E+29」。これをテラバイト(10^12＝1兆バイト)で割ると、63京テラバイトにもなってしまう。1万回なんて、とんでもない。どれだけ长いテープを用意しなきゃならないの！　体当たりのコマ大数学研究会にとっては、酷过ぎる；；。

で、マス北野は、今回も冴えていた。3、5、7などの素数の出现数は「n-1」になっていることを発见。答えは「101-1」で「100」。东大生コンビは时间切れで、マス北野、ただひとりが正解した。

竹内薫センセの「美しき数学」の时间では、この问题の解法を「ユークリッドの互除法」(参照：～さんすう・数学のお勉强～)を使って解説。素数を「n=a+b」のように表すと、必ず、aとbは互いに素(最大公约数が「1」)になるという。通常の约分法ではないが、例えば「7」を「5+2」のように分けて、小さいほうの数を残し、大きい数から小さい数を引くと「3,2」のようになり、最终的に「1,1」となる。これはちょうど、问题を逆のぼる形になる。「7」を「a+b」のような形にできる组み合わせは「6,1」「5,2」「4,3」「3,4」「2,5」「1,6」の6通り。つまり「101」の场合は、「101-1」で「100」个ということになるらしい。

番组の冒头で、980万桁の素数を绍介していたが、竹内薫センセ曰く「素数は大きな広がりを持っている。宇宙が素粒子で出来ているように、数学では、素数が重要な存在」と。番组では、素数を「素敌な数」と表现していた。数学に素养のない私は、素敌な人ではなく、ただの「素人」(シロウト)だ＾＾；

竹内センセの「薫日记」の1月17日のエントリ「重版おめでとう！」で中村亨センセの「数学21世纪の7大难问」の重版が决定したことを知り、これを机会に「薫日记」から注文した。まだ届いていないのだけれども、私もアフィリエイトをば……。

数学21世纪の7大难问 着者：中村 亨 贩売元：讲谈社

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■コマネチ大学数学科33讲：中国人邮便配达问题

シャブリの気になったもの：コマネチ大学#33

酔いつぶれて録画予约を失败してしまった「コマネチ大学数学科」だが、上记のブログに问题と、非常に丁宁な解説が载っていた。详细は上记ブログを参照してもらうとして、酔っ払い爷としては、実践あるのみ。ホントにそうなのかを検证してみよう。

「スタート」ボタンを押してから、キーボードの方向キーで邮便配达夫を操作してほしい。

问题は「邮便局から出発して、すべての家に邮便物を配达し、再び、邮便局に戻る、この间の移动距离が最小となるような経路を见つけよ！というもの。小さいひとマスの辺を「1」としたとき、最短経路の移动距离を求めることになる。

で、経路を最短にするには、できるだけ、同じ道を通らないこと。一笔书きができれば（无駄な移动を省くという意味で）それに越したことはないのだが、どうやら、この図形は一笔书きができない。ならば、どうすればよいのか、というのが、この问题のポイントだ。

重复して通る経路をどこにするか。「ケーニヒスベルクの桥」问题で、オイラーは、一笔书きができる必要十分条件として、「すべての顶点の次数が偶数」または「次数が奇数の顶点の数が２で、残りの顶点の次数はすべて偶数」のいずれかとした。つまり、奇数点を偶数にすれば、いいんだよね。そう考えると、自ずとバイパスを设置するポイントが见えてくる。

そんなわけで、パターンを知ってしまうと、意外と简単な问题。このバイパスを设置する(二度通る経路を决める)と、スタート地点がどこにあろうが、最短距离ですべての家に邮便物を配达できる。この问题の答え（1マスの辺を1とすると)、最短距离「28」で、すべての家に邮便物を届け、出発点の邮便局に戻ってほしい。

■邮便配达夫は、N!度ベルを鸣らす

ついにやってしまった；；これまで、出来の悪い生徒ながら皆勤赏だけが唯一の取得だったのに、録画予约を失败して受讲できなかった「コマネチ大学数学科」。とくに今回の问题は「邮便配达问题」ということで楽しみにしていただけ残念だ。

「邮便配达问题」とは、邮便物を配达するのに最短のルートを求める问题だ。邮便局をスタート地点とすると、配达する家が5轩なら、その経路は、5!=120通り。10轩なら、10!=约360万通り……これが1000轩とか、1万轩となると、すべての経路を计算して答えを见つけるやり方では対処できなくなる。

现在のノイマン型コンピュータを使う限り、计算可能な问题(P)と、検算可能な问题(NP)は、等しくないと思われている。「P≠NP予想」は、ミレニアム悬赏问题のひとつで、赏金100万ドルが悬けられている。

量子コンピュータなどが作られ、もしも、この问题が「P＝NP」であることが证明されたら、现在のRSA暗号などは、その安全性を确保できないことになっちゃう。

ということで、「コマネチ大学」の10分で解ける「邮便配达」问题とは、いかなるものだったのか……（orz)。

■良い子はマネしちゃいけない回答篇

コマネチ大学数学科マス1グランプリ
●ROUND1　问8
「365/1365=」を约分しなさい。

あの「数学オリンピック」の2年连続の覇者、西本さんでも「适当に割算しました」というのに、こんな解法があったとは……＾＾；。

シム宇宙の内侧にて：良い子は真似しちゃいけません

GIGAZINE：何もかもが间违っている数学の回答

上记ブログで绍介している回答例には、意表をつかれた。あまりに面白かったので、応用问题を作れないか……とゆーか、これが可能な仕组みを考えてみた。

例题を踏まえて、以下の分数を约分しなさい。
で、约分というのは、分母と分子を最大公约数で割ること。例题も含め、问1と问2の最大公约数は「91」、そして分母と分子の数の差は「11」になっている。消せる数字を足すと「9」になる。问3の最大公约数は、すぐにわかるように「1001」だ。つまり「11*91」というわけ。もちろん、分母と分子の共通する数字を消せば「答え」になるのは特殊な场合なので、良い子はマネしてはいけない＾＾；

世の中、ホントに「数学ブーム？」なのかどうかは、知らないけれど、今年のお正月「コマネチ大学数学科マス1グランプリ」の前日には「スージー大好き」という番组が放映された。マーチンゲール法を応用し「1年间で100円を900万円にする方法」や「キレイになる黄金比」などを绍介していた。例えば、女の子にアタックして「イヤヨ（184）と断れても、あきらめずに6回アタックすれば「184×6＝1184（イイワヨ）」になるとか、どうにも、バラエティ番组としては、フツーなんだろうけれど、おもしろくない。番组は「数字」にかけた「スージー」という「数字の女神？」(书くのも耻ずかしい)が进めていく构成なのだけど、ナレーターの声にイラついてしまった。

ちなみに「マーチンゲール法」は、竹内薫センセの「数学嫌いが治る本」でも绍介されている。ようするに配当が2倍以上の场合、负けたら、その额の倍を赌けていくというもの。何度负けても、このルールで赌けていく。一度でも胜った时点で、これまで负けた分よりも配当のほうが上回る计算。胜ったらリセットして、最初の状态からスタートする。番组では、これを竞马に応用。1番人気の単胜马で、配当が2倍以上の场合、马券を买い続ける。最初は100円、负けたら次のレースは倍の200円をつぎ込む。去年1年、JRAのレース结果を元にして、このルールを适用して计算すると、最终的に900万円の储けになったらしい。なんか、ウェブやダイレクトメールにありがちな「必胜法」のような胡散臭さを感じる。兴味の対象が数学的な面白さではないのだ。このルールの盲点は、谁でもわかるとおり、资金が润沢でないとできないこと。去年のデータでも、ある时点を捉えると、马券の购入额は1400万円にもなったらしい。破産してしまったら、このルールは适用できない……ということが前提のはずなのに、なんか诈欺の讴い文句のようなイヤな気分にさせる。

いっぽう、「たけしの谁でもピカソ」は、数学ネタの第3弾。数学の伝道师「桜井进」の数学マジック「もの言う电卓」。电卓には「15873」と入力されている。これにあなたの好きな数字を挂ける。ゲストの「高木美保」は「9」を挂ける。桜井进氏はもちろん、见ていないのだが、计算结果に「7」を挂けると……。

というわけ。今回は、魔法の呪文「石には粉」を披露。「石には粉(142857)」という数にさまざまな数を挂けてみる。

挂ける数が「6」までの场合は、「142857」をシフトした形になる。「8」以降は、最初の数と最后の数を足すと、やはり「142857」となる。文字どおり数のマジック。楽しんでもらうだけで、人间の欲につけいるようなギミックはまるでない。

番组は、これから、东京工业大学の黒川信重教授と番组では御驯染みの音楽家、仓本佑基(本名：北野実)氏を招いて、「リーマン予想」の话へと移る。このふたり、じつは高校の同级生で、数学の问题をエレガントに解く雑志のコーナーの常连さんだったという。高校の数学の成绩では、黒川氏よりも上だった仓本氏であったが、ふたりにとって高校の数学の问题では、简単すぎて、优劣はつかなかったという。仓本氏によると、数学では黒川氏にかなわないと思い、音楽家の道に进んだとのこと。黒川氏は「リーマン予想」の登山家としては、世界でも、もっとも高く登り诘めている数学者。世界の数学者がリーマン山の3合目あたりを右往左往している中、5合目を突破する数学者として注目を浴びているらしい。

「オイラー」は1735年、自然数を无限に足していく「バーゼルの问题」を「复素関数」を用いて、ある値に収束することを発见し、これが「ゼータ関数」につながる。
●バーゼルの问题

●ゼータ関数

●リーマン予想

……って、たんなる酔っ払いの爷には、なんのことかわからないが、オイラーは1771年、全盲になるものの、1775年には「月の运动に関する论文」を执笔したという。
番组として「スージー大好き」と比较しても、始まらないし、视聴率がどうだったかということにも関系なく、私には、なんとなく无限のかなた(永远)に魅かれる数学者の気持ちは感じられたし、おもしろかった。とくに、「ゼータ君はどこにもいるんですよね」という桜井氏のフリに黒川教授の「ええ、自然界のさまざまな场所にいるという説があります。私の地元は栃木県なのですが、言ってしまいますと、华厳の滝の滝壶にいると……」という答えが印象に残った。「なぜ、ゼータは滝壶に潜んでいるのか」こーゆー话なら、2时间でも3时间でも、じっくり闻きたいと思うのは私だけだろうか＾＾；

夕方から「いいちこ」気分に浸かってきたので、毎度のことながら、今夜、深夜の「コマネチ大学数学科」までは、もちそうもない；；録画予约して寝ようっと……。

■小饲弾さんの回答篇

404 Blog Not Found:
コマネチ大学数学科第一回M-1グランプリ回答篇

●FINAL ROUNDの问题

1000本の棒を使って正四面体を作り、积んでいくと、何段になるでしょう？

小饲弾さんの回答は、正四面体165个(990本の棒)を积み上げると、正四面体1个と4本の棒が残る。この最后の1个を顶上に乗せて10段としてしまうというもの。コマ大数学研究会が使っていた、ロウを溶かして、固めて接着する工具(?)を使えば、なんとかなりそうだ。

さらに、正四面体の底面の部分を贴りあわせた形を作る。底面の3本の棒を共有した正三角形の六面体で、棒の数は9本。これを縦に积み上げる。正三角形の六面体111个(999本の棒)×2段で222段。この形を縦に积み上げるのは、超强力な接着剤を使っても难しいと思うが、やってやれないことはない。

なぜ、このような解答が可能かというと、问题では、积み方を限定していないから。问题に一言、文を追加して、次のようにすれば、よかったのではないかと思う。

1000本の棒を使って正四面体を作り、これをピラミッドの形になるように积んでいくと、何段になるでしょう？

これなら、1枚のフリップに収まると思うのだが……。でも、ピラミッドを中抜きする方法があるのか＞＜；

弾さんの回答篇は、私のエントリを待っていてくれた节がある(私が胜手にそう思っているだけ＾＾；)。弾さんは、とっくに回答篇を用意していたはず。Shadeの図版作りに梃子折り、记事を公开したのは、朝方の时间にもかかわらず、その10分后には、「おいおい、いつまで待たせるんだよ！」とばかりに回答篇が公开された。しかも、私のブログへリンクまで贴っていただいていた。そんな心优しき弾さんへの感谢を込めて、ROUND2の図形问题、マス北野の解答篇を载せておく。

■コマネチ大学数学科マス1グランプリ

　昨年末の「M-1グランプリ」は「チュートリアル」が获ったけれど、もう一つの「M-1」、「マス1グランプリ」は谁の手にと楽しみにしていた「コマネチ大学数学科マス1グランプリ」。期待に违わず、かなり楽しめた。しかし、「いいちこ」渍けの头では、リアルタイムに参戦できるわけもなく、録画した番组であらためて问题を振りかえってみた。

●ROUND1　计算问题

计算すれば答えは出るのだけれど、いかに式を简単にするのかがポイント。私がパッと答えることができたのは、问9だけだった；；

●ROUND2　最速図形バトル

计算问题で出遅れたマス北野だったが、さすがに図形问题では最速。しかも、上のFlashで绍介している解法は、ハサミを4回入れなければならないが、マス北野は、たった2回ハサミを入れるだけで、正解した。じつは、2番目に速かったのは、西本さん。しかし、思考速度は速いものの、不器用ぶりを発挥し、図形を并び替えることに手间どり、东大生チームに先を越されてしまった。ツッコミどころも満载の西本さんであった。

●FINAL ROUND　一骑打ちバトルロイヤル
マス北野と数学オリンピックの2年连続チャンピオン、西本さんとの一骑打ちとなった。

问题は「1000本の棒を使って正四面体を作り、积んでいくと、何段になるでしょう？」というもの。ひとつの正四面体を作るには、6本の棒が必要。これを1000本以内で、図のように积み上げていくと、何段作ることができるかということ。

1段目は正四面体が1个。2段目は3个。3段目は6个……と続く。関系ないが、「Shade」で正四面体を描くことが、こんなに大変だとは思わなかった。で、1つの正四面体を描いたなら、あとは、コピーして贴り付けるだけなのだが、これも、意外とめんどうくさい。2段目で挫折……。それを考えると、コマ大数学研究会のがんばりは、スゴイ！と思う。

というわけで、エクセルで表にしてみた。段ごとの正四面体の数は、1段目からその段までの数を足したものになる。セルB4に「=SUM($A$3:A4)」として、オートフィルで以下の行を连続入力する。合计の栏も同じく、セルC4に「=SUM($B$3:B4)」とする。この合计に6を挂ければ、棒の数が出る。9段目で990本になり、10段目では1000本を超えてしまう。

これは、マス北野の方法と同じだ。西本さんは、最速ですぐにこの问题を解く公式を导き出した。ただ、番组では説明の部分がカットされていたのが残念だ。

美しき数学の时间では、竹内薫センセが解説。この问题、パスカルの三角形を用いても解くことが可能とのこと。

正四面体の合计数が表れているではないか。しかも上から数えてみると、9段目が「165」になる。まるで、手品で「引いたカードをあらかじめ予言しておきました」みたいな、パスカルの三角形。パスカル、あんたはスゴイ！　ふと、今、思いついたのだけれど「同じ大きさの镜饼を3つ并べて、その上に1个置く。このような形で10段の镜饼を作るには、镜饼は何个必要ですか？」という、お正月らしい问题ならば、コマ大数学研究会は、これほど苦労しなかったはず……あ、これじゃ、番组として成り立たないのか＾＾；
でも、段ごとに必要な正四面体の数を考えるとき、镜饼で考えると、わかりやすいかもよ。

■ゆく年くる年

　アマゾンに予约注文していた「コマ大数学科特别集中讲座」と「脳をシゲキする算数ドリル」が届いた。

　「たけしのコマネチ大学数学科」は、深夜、30分の放送枠の中に、问题の提示、解、答、そして「美しき数学」の时间を収めなければならないため、どうしても説明を省かなければならないところがある。そういった番组ではカットされた部分を含めて、これまでの问题を収録したアーカイブとしての「本」を期待したのだが、ちょっと违ったようだ。

　これは、私の期待であって、そうはならないだろうというのは、ある程度はわかっていた。だって、そういう本は、竹内薫センセや中村亨センセ自身が书かないと成り立たないだろうから……。

「コマ大数学科特别集中讲座」は、160ページのうち、番组で取り上げた问题を绍介している部分は38ページ(全体の约4分の1)。全体の60％を占めているのは、ビートたけしと竹内薫センセの対谈だ。対谈は対谈で面白いのだが、过去の问题と解法を、本というすぐに参照できるような形で残しておきたいというのが、私の正直な気持ち。これが、全体の60％(5分の3)が过去の问题、4分の1が対谈だったら、大満足だったのだけれど……。

「头をシゲキする算数ドリル」は、木村美纪さんの本だが、问题やコラムの作成には「东大算数研究会」の协力を得ているとのこと。全60问。奇数ページに问题、めくった偶数ページに解答という形で进んでいく。

　ところで「コマ大数学科特别集中讲座」の中で木村美纪さんの记事(3ページ)があるのだけれど、その中で印象に残った言叶があった。

数学はダイエットに似ています。まず第一に、根本にあるのは”美の追求”だという点です。第二に、结果を出すためには、近道もあれば远回りもあるという点です。第三に、努力したプロセスが自分を磨く経験になるうという点です。

　まるで、「手术台の上のコウモリ伞とミシンの出会い」のように、数学とダイエットを结びつけるあたりが、お见事。现役东大生の木村美纪さんらしいなぁという印象を强く持った。

　なにはともあれ、本ブログを访れてくれた皆様、ありがとうございました。大晦日は、デジタル「除夜の钟」でも闻きながら、「算数ドリル」で年を越そうかな……というのは、ウソ。贫乏ライターには、大晦日もお正月もないのら。

■コマネチ大学数学科31讲：チェバの定理

WOWOWで「大停电の夜に」を放映していた21日の夜、ココログの管理画面は「大停滞の夜」。まったくつながらない。データサーバーに高负荷がかかっていたとのことだが、どうなることやら「たけしのコマネチ大学数学科」第31讲、「チェバの定理」。

今回の问题は「一本の定规を使って正方形の辺の中点を作図しなさい」というもの。ここで言う「定规」とは、古代ギリシアで使われていた「定木(ていぼく)」とする。たんに直线を引く道具で、目盛りはない。つまり、长さを测っちゃダメよ、ということ。

「チェバの定理」ということで、さっそく「千叶」の海岸にとんだコマ大数学研究会の面々。砂浜に描いた正方形が波に消されるなど、苦戦を强いられたが、「渔师力学」により、正方形の一辺と同じ长さの定规を天秤(てんびん)棒のように使い、バランスがとれた支点が左右の中点、つまり辺の中点とした。天秤棒の両端B、Cに、MとLの重しを载せ、バランス点をPとすると、(L/M)=(BP/PC)になる。

これは「メネラウスの定理」からも证明できるが、(AR/RB)×(CQ/CA)が1であることを证明しなければならない。

「チェバの定理」は、三角形ABCの内部に任意の点Oをとり、AOとBCの交点をP、BOとACの交点をQ、COとABの交点をRとすると、「メネラウスの定理」から、それぞれの三角形の面积の比率を证明したもの。同时にもし、AR=RB、BP=PC、CQ=QAならば、交点Oは、三角形ABCの重心となる。その点「渔师力学：ダンカンの定理」は、いいところを突いているのだ。

そんなわけで、正方形の一辺を2等分する方法は、下図のようになる。ポイントは辺BCとRQは、平行だということだね。逆にBP=PCなら、辺BCとRQは平行であることを「チェバの定理」で证明できる。

「コマネチ大学数学科」の年内の讲义はここまで。来年1月4日の深夜(1月5日 0:55～1:55)、「コマネチ大学数学科マス1グランプリ！！数学王决定戦！」を楽しみにしよう。マス北野と竹内薫センセの対谈を含むテキスト本「コマ大数学科特别集中讲座」は予约开始。また、番组に登场している东大生、木村美纪さんの「脳をシゲキする算数ドリル」が発売中とのことだ。

コマ大数学科特别集中讲座 着者：ビート たけし,竹内 薫 贩売元：扶桑社

现役东大生プロデュース 脳をシゲキする算数ドリル 着者：木村 美纪 贩売元：ダイヤモンド社

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■コマネチ大学数学科30讲：ディオファントス

テレビドラマ「仆の歩く道」のオープニングで毎回、草ナギ刚君が自転车に乗っているシーンが流れるんだけど、草ナギ君が「ムラタセイサク君」に见えてしまうのは、私だけ……？「たけしのコマネチ大学数学科」第30讲：ディオファントス。

今回の问题は「立方体で直方体を作り、外侧の面に色をつけたとき、色がついた面とついていない面の数が同じになるのは、どのような直方体か答えなさい」。

図に提示してある、横幅(X)2、高さ(Y)2、奥行(Z)2の场合も、色のついた面と色のついていない面の数が同じになる。问题はこれ以外の组み合わせを答えることになる。

コマ大数学研究会のように豆腐やサイコロステーキで検证するのは大変なので、エクセルの表を作成した。「Excel」がインストールされているパソコンならば「comaneci30.xls」をクリックして「开く」ボタンを押してほしい。

「ディオファントス」は、古代ギリシャの数学者。未知数が2以上ある方程序の整数解を求めるものを「ディオファントス方程序」と呼ぶらしい。

答えは、2通りある。コマ大数学研究会は、残念ながら1通りの答えしか见つけられなかった。东大生、マス北野とも正解。コマネチフィールズ赏は、マス北野が辞退し、东大生コンビが受赏した。

「ディオファントスの墓碑」问题(引用：Wikipedia)

ディオファントスの人生は、6分の1が少年期、12分の1が青年期であり、その后に人生の7分の1が経って结婚し、结婚して5年で子供に恵まれた。ところがその子はディオファントスの一生の半分しか生きずに世を去った。自分の子を失って4年后にディオファントスも亡くなった。

ディオファントスがχ歳に亡くなったとすると、

これを解くと、χ＝84となる。结局、ディオファントスは84歳で亡くなったらしい。

■コマネチ大学数学科29讲：カタラン数（补习）

　头の中でカタラン数が「カタラン、ワカラン」と音を立てている。仕事をしなければならないのだが、このままでは気になってしょうがない。そこで、头の中を整理する意味で、エクセルの表にしてみた。

　EXCELがインストールされているパソコンならば、「comaneci29.xls」をクリックし、「开く」を実行してみてほしい。

　问题を解くためには、できるだけ问题を単纯化して、それを一般化する手法を取る。

　「P」とか「C」とか、わからない记号が出てきたが、これは数学のお约束ごと。数学が难しく感じたり、理解不能と思えるのは、谁かに教えてもらわないと一生わからない记号（お约束）が多いことなんだよね。

　その点、この问题を解くのに参考にした、结城 浩さんの「プログラマの数学」という本は、数学が苦手な人にも、きちんと记号の意味を説明をしてくれている。优しさは（理解の）易しさにもつながるのだ。

　これで、エクセルの表の「人数」に「10」と入力すれば、正解が出るのだけれど、今回のテーマは「カタラン数」なので、カタラン数とはどういうものか……。

2007年3月9日追记：図の间违いを修正；；

　パスカルの三角形を半分にしたような形なのだが、この表に表れる「1、1、2、5、14」という数の并びが「カタラン数」と言うらしい。今回の问题の2人、4人、6人、8人の场合のカップル(握手成立)数になっているのだ。

　マス北野が短时间で正解に辿り着いたのは、(2＋5)の2倍が、次の数字「14」になることに気づいたからだ。
つまり、(2＋5＋14)×2が、10人の场合の答えになると考えた。マス北野のこういった法则を见つける能力というか、数学的な直観力は「さすが」だよね。